微分方程的通解包括所有特解吗

问题描述

精选答案

通解并不包含所有解。

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解（general solution）。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。扩展资料：其通解为这是一个二阶常微分方程，在物理中经常会用到，被称作亥姆霍兹方程（Helmholtz equation)。它的解中具有两个常数和当和取某个特定值时所得到的解称为方程的特解。例如y=6*cos(x)+7*sin(x)是该方程的一个特解。

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sinx=1 非齐次

设sinx=0 齐次

解得x=2kπ 2kπ就是齐次解

sinx=1 我们不能确定x等于多少 因为有无数多个解

但是我们随便找出一个 就可以 比如x=π/2

或者x=5π/2

任意找一个 这个x=π/2 就是特解

然后 我们说2kπ+π/2 就是sinx=1 的通解

你要说 2kπ+5π/2是通解 也一样

不知道这样比划 你明白没有

一个一般非齐次的微分方程 我们是解不出来全体解得

所以我们只有按方法找一个特解 这个特解差不多是属于试出来的

但是我们可以求出齐次微分方程的全体解 也就是通解

通解+特解 就可以包含非齐次的所有解了

至于为什么通解+特解 就是方程的全体解 书上有详细的证明过程的

看得懂就看 不能理解 就强制把它当做公理