0-0型极限怎么求

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精选答案

0比0型求极限，要先观察分子分母是否可以因式分解，因式分解之后是否可以进行约分。

比如求lim(x->1)(x^2-1)/(x^3-1)，这个极限的分子分母都可以进行因式分解。分子x^2-1=(x-1)(x+1)，分母x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)，显然，分子分母有相同的分式x-1, 可以进行约分，约分后等于lim(x->0)(x+1)/(x^2+x+1)，它就不是一个0比0型的极限了，可以直接代入x=1，结果等于2/3.有些分母或分子含有根号的0比0型极限，可以利用平方差公式对其进行有理化处理，就很有可能转化成一个非0比0型的极限，代入数值就可以解了。比如求lim(x->0)x^2/(1-根号(1-x^2)), 分母有理化，分子分母同乘以1+根号(1-x^2)，得到lim(x->0)x^2(1+根号(1-x^2))/x^2=lim(x->0)(1+根号(1-x^2))=2.我们学过常用极限lim(x->0)sinx/x=1就是一个0比0型极限，有些0比0型极限可以利用这个常用极限快速求解，比如求lim(x->0)sin2x(e^x+1)/x, 可以利用极限的四则运算法则化为lim(2x->0)sin2x/(2x)×lim(x->0)2(e^x+1), 前面的极限就是常用极限等于1，后面的极限可以直接求得等于4，因此原极限等于4.利用等价无穷小求0比0型极限的运用也很广泛，比如常用极限中的sinx和x就是两个等价无穷小，可以写成sinx~x，另外还有ln(1+x)~x，1-cosx~x^2/2等。比如求lim(x->0)sinx(1-cosx)/x^3，就可以把它转化成两组等价无穷小的比，得到1/2×lim(x->0)sinx/x×lim(x->0)(1-cosx)/(x^2/2)，结果就等于1/2.当然，求0比0型极限，或者无穷大比无穷大型的极限的万能方法，还是洛必达法则，就是对分子分母同时求导，一直到转化为非未定式极限为止，比如求lim(x->1)(x^3-2x+1)/(x^2+3x-2), 运用洛必达法则后得到lim(x->1)(3x^2-2)/(2x+3)，结果就等于1/5.这些方法都要好好掌握，多加练习，因为你不知道自己什么时候就要用到它们，有些函数运用洛必达法则求导是非常麻烦的，所以一定要学会灵活运用。