一个矩阵和对角阵相似说明什么

问题描述

精选答案

A的伴随矩阵 同 与A相似的对角矩阵（记为M）的伴随矩阵 肯定是相似的就不用证了吧。

（我是用特征值算的，所有特征值都相同，包括重数）下面重点讨论与A的对角矩阵的情况。当A是满秩矩阵时，A* = |A| * A^(-1).如果要使A*与M相似，由相似的传递性，则要求 M与M*相似。取M为diag(1,2,3).则M*为diag(6,3,2).特征值不一样，故不相似（但是在二阶的情况下可以证明是相似的）所以说超过三阶矩阵 A*与M相似 一般不成立。当n阶矩阵A不是满秩矩阵时，设函数R(X)表示矩阵X的秩，则有R(A*) = 1，当R(A) = n-1 时R(A*) = 0,当R(A) < n-1 时（至于为什么，你用定义把A*表示出来，注意行列式的值与矩阵秩的关系即可）相似矩阵的秩是不变的。与A相似的对角矩阵还是设为M.则R(M) = R(A)要M与A*相似秩必须相等，R(A) = R(M) = R(A*)当R(A) = 0时候显然成立。当R(A)!=0时，只能是R(A) = 1，n=2才可能成立。这种情况下M与M*是相似的，由相似的传递性可以知道A*与M是相似的。总的来说对于二阶的情况，确实是相似的。超过二阶除了及特殊的情况，一般都不相似。错的，矩阵a可逆只能推出|a|不等于0，而a相似与对角阵的充要条件是a有n个线形无关的特征向量，错的，矩阵a可逆只能推出|a|不等于0，而a相似与对角阵的充要条件是a有n个线形无关的特征向量，如果A相似于B的话，adj(A)也相似于adj(B)。证明很容易，只需要知道adj(P^{-1}AP)=P^{-1}adj(A)P就行了。但是adj(A)和B没有很直接的关系，即使是A和adj(A)一般也不相似，特征值都不一样。矩阵A与一个对角阵相似, 则A*与这个对角阵的伴随阵相似.这里用到一个结论:(AB)* = B*A*.--线性代数范围不常用(A*)^-1 = (A^-1)*.设 A = P∧P^-1则 A* = (P∧P^-1)* = (P^-1)* ∧* P* = (P*)^-1 ∧* P*令 P*=Q, 则有 A* = Q^-1∧*Q

其他回答

伍小工程师

1、反身性：任何矩阵都与它本身相似。

2、对称性：如果 A和 B相似，那么 B就和 A相似。

3、传递性：如果 A和 B相似， B和 C相似，那么 A也和 C相似。

如果 n阶矩阵 A类似于 B，则 A和 B的特征多项式是一样的，因此 A和 B的本征值是相同的。n阶矩阵 A和对角矩阵类似(A可对角化)的充要条件是 A具有 n个线性无关的特征向量。