如何用数学手段判断一个函数是否可导

问题描述

精选答案

导数是微分学中的重要概念，它是变量的变化速度在数学上的抽象。

比如，物体运动的瞬时速度，曲线的切线斜率，非恒稳的电流强度，化学反应速度，等等，这都是数学分析上的导数问题。导数的定义是这样的:函数y=f(x)在x。的某邻域内有定义。设在x。自变量x的改变量是Ax，相应函数的改变量是Ay=f(x。+Ax)-f(x。)，如果Ay/Ax的极限(当Ax→0时)存在，称函数f(x)在点ⅹ。可导(或存在导数)，此极限称为函数f(x)在点x。的导数，记为f＇(x。)。如果此极限不存在，称函数f(x)在点x。不可导。函数在一点可导，则函数在这点连续。即《可导→连续》。但是若函数在一点连续，函数则在这点不一定可导。例如，幂函数y=f(x)=x^(1/3)在点0存在切线，但切线斜率是无穷大(即y轴)，故此幂函数在连续点0处不可导。一般的，幂函数，对数函数，指数函数，三角函数，反三角函数，双曲函数及常函数这 些初等函数在其定义域内一般是可导的。但是，有些连续函数是不可导的，像一些分段函数，在段点处要仔细判断。例如，函数f(ⅹ)=|x|在x=0连续，但在x=0处不可导。由初等函数组合成的复合函数一般也是可导的。总之，一般的分段函数不一定可导，而基本的初等函数(幂函数除外)在其定义域内一般是可导的。

其他回答

电气小沃

即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

1、设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

2、若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

扩展资料

函数可导的知识点：

1、所有初等函数在定义域的开区间内可导。

2、所有函数连续不一定可导，在不连续的地方一定不可导。

3、函数在某点的左、右导数存在且相等，则函数在该点可导。

4、函数在开区间的每一点可导，则函数在开区间可导。

5、设f(x)=|x-a|g(x)，g(x)在x=a处连续。

(1)若g(a)=0，则f(x)在x=a处可导，且导数等于0；

(2) 若g(a)≠0，则f(x)在x=a处不可导。

6、可导函数的奇函数的导函数是偶函数，可导函数的偶函数的导函数是奇函数。