怎么用单调有界准则证明x1=√2，xn+1=√2+xn有极限，并求出极限

问题描述

精选答案

考研数学中，证明数列极限存在的其中一种常见方法是单调有界法。

即要确定数列是否有界并且判断数列是否单调。如果判断出数列单调上升且有上界或判断出数列单调递减有下界均可以证明数列的极限存在。可以先证明数列有上(下)界然后证明数列的单调性；也可以先证明数列的单调性再证明数列存在上(下)界。注意对于某一个不分段的确定数列来讲，它可能既存在着上界同时又存在着下界，但是它的单调性一旦存在，数列是递增还是递减是唯一可确定的。所以判断出数列的单调性及数列的增减性至关重要。方法我认为基本如下:方法①:数学归纳法，进行递推:自己预估数列是单增的还是单减的，如预估为单增可以先代入具体值得到X1＜X2,假设第n项时Xn即判断Xn+1＞Xn(或Xn+1＜Xn)得到单调性；行不通时也可通过Xn+1/ Xn ＞1(或Xn+1 / Xn ＜1)得到单调性。方法②:第二种方法就是你将数列转化为函数之后(用到海涅定理的思想)再对函数求导来判断数列的单调性是否存在以及数列是递增的还是递减的这种方法。方法是这样的:(李正元全书截图。注意宇神18讲上并没有这个方法，所以19的研友们还是多留意下)这个其实可以利用拉格朗日中值定理来证明。有数列｛Xn｝，包含X1,X2...Xn...根据前面方法①的铺垫，我们自然而然会想到利用“Xn －Xn-1”来判断数列单调性，见到这个东西，相信听过汤神或宇神课的朋友都能想到利用Lagrange对吧。这时有，f(Xn)－f(Xn-1)=f'(ξ)(Xn－Xn-1) (ξ在Xn-1和Xn之间)再由递推式Xn+1=f(Xn),可将上面的等式写作:Xn+1－Xn=f'(ξ)(Xn－Xn-1)可以想到，如果数列是单调的，那么数列中后一项减前一项的和要么永远是大于0的(单增的情况)；要么永远是小于0的(单减的情况)。如果后一项减前一项有的单增有的单减，那么这个数列它肯定不具有单调性。所以我们会发现，数列具有单调性时，它的后一项减前一项的值永远是同号的(同正或同负)。那么如何满足Xn+1－Xn和Xn－Xn-1始终同号呢？很显然要保证f'(ξ)是大于0的。你会发现，这样并不能保证要判断的数列一定是单调递增的。而具体判断递增递减很容易，既然一个数列的单调性存在，那这个数列是递增还是递减是客观唯一的。所以说，可以求出数列前几项(可以是前两项)的数值，比较前几项的数值大小，进而确定出数列的整体增减性。