正交矩阵的特征值为什么是1或负1

问题描述

精选答案

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。

即有Ax=λx，且x≠0，两边取转置，得x^TA^T=λx^T，所以x^TA^TAx=λ^2x^Tx。因为A是正交矩阵，所以A^TA=E，所以x^Tx=λ^2x^Tx。由x≠0知x^Tx是一个非零的数。故λ^2=1，所以λ=1或-1。