不同特征值特征向量一定正交吗

问题描述

精选答案

对称阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的。

命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的.证明如下：

A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2

分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得

对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2

所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0

其他回答

哆唻咪心理咨询

不是一定正交的。

如矩阵A=[2 3]

[2 1]，它的特征值为-1、4，对应的特征向量为（-1，1）^T，（3，2）^T，显然这两个向量是不正交的

但是一般的，对于任意矩阵，不同特征值对应的特征向量必然线性无关；特别地，对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量必然正交。

·每一个线性空间都有一个基。

·对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=E（E是单位矩阵），则A为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

·矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

·解线性方程组的克拉默法则。

·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

其他回答

心理FM君君

不对 只能保证线性无关

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交

不同特征值的特征向量是线性无关, 但将其正交化后就无意义了, 因为正交化后它就不是特征向量了