定态薛定谔和薛定谔方程区别

问题描述

精选答案

在量子力学中，单粒子服从的运动方程是薛定谔方程。薛定谔方程在量子力学中的地位相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位。

一维的含时薛定谔方程形式为[公式]，其中[公式]为势函数，相当于牛顿第二定律的力的地位。因此，理论上只要给定一个确定的势函数，以及一个确定的初始条件，就能得到粒子后续的运动情况。

特别地，当势函数不显含时间的情况下，有[公式]

此时可用分离变量法求解，即令[公式]，则有

[公式]

代入上式可得

[公式]

观察上式，左边为[公式]的函数，右边为[公式]的函数。那么等式成立的条件为，两边都等于一个常数，设此常数为[公式]，则可以得到两个常微分方程

[公式]

[公式]

其中式（1）称为定态薛定谔方程，之所以称之为定态，原因如下：

解方程（2）可得[公式]，设此时相应的方程（1）的解为[公式]，那么有[公式],则由波函数的统计诠释，概率密度[公式]与时间[公式]无关！因此称式（1）为定态薛定谔方程，其中定态的意思即与概率密度与时间无关，式（1）的解称为定态解。

一般地，给定势函数[公式]后，满足条件的[公式]不止一个，可记为[公式].求得的定态解为[公式],相应的式（2）的解为[公式],则总的定态解为[公式].

含时薛定谔方程的解可由叠加原理得到，即为定态解的线性组合

[公式]

在给定了初始条件[公式]后，可以求出各系数[公式],进而求得含时解。

一般地，在势函数不显含时间[公式]的情形下，求解含时的薛定谔方程可以先通过求解定态薛定谔方程，再通过线性组合得到含时解。