为什么整数环每个理想都是主理想

问题描述

精选答案

一般环的理想的定义：环的子集，且满足条件：(1)对加法封闭；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中。

例：整数环中的所有偶数，满足条件：(1)对加法封闭，因为偶数加偶数还是偶数；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中，因为偶数乘整数都是偶数。所以所有偶数组成理想。

类似地，所有能被三整除的数组成理想；所有能被四整除的数组成理想；……。

可以证明整数环的每个理想都可以写成“所有能被n整除的数”，n是某个整数（当n=0时，对应的理想只由0组成；当n=1时，对应的理想是所有整数）。这样的理想（所有能被环中某个元素整除的元素）叫做“主理想”，这样的环（所有的理想都是主理想）叫做“主理想整环”。整数环就是一个主理想整环。