特征值相乘为什么等于行列式

问题描述

精选答案

因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。记矩阵为A，记λ为A的特征值，按照定义有：f(λ)=det(A-λE)=0，f(λ)为A的特征多项式，A的所有特征值为f(λ)=0的根，根据韦达定理，方程的根的乘积与系数的关系，特征值的乘积恰好为矩阵A的主子式的代数和，而这个和等于detA。所以特征值乘积等于行列式的值。

行列式的性质：

1、行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

2、行列式A等于其转置行列式AT。

3、若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

4、行列式A中两行（或列）互换，其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

拓展：

行列式定义的连加运算中，每一项可以这么理解：

行列式每一行都选出一个数字进行连乘，并且这些选出的数不能是同一列的。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-aii)。

然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含n-1个(λ-aii)。因为如果存在包含n-1个(λ-aii)的项，那么假设没提供(λ-aii)的那行是第k行。

第k行必须从别的列上取一个数，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上。这导致第k行只能去第k列取数，而k行k列显然是(λ-akk)，存在矛盾。

所以次数第二高的项也在（-1）τ(1，2,···，n)П(λ-aii)中。