逆矩阵定理

问题描述

精选答案

定理

验证两个矩阵互为逆矩阵

按照矩阵的乘法满足：

故A，B互为逆矩阵。

逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。

证明：

若B,C都是A的逆矩阵，则有

所以，即A的逆矩阵是唯一的。

判定简单的矩阵不可逆

如

假设有

是A的逆矩阵，则有

比较其右下方一项：。

若矩阵A可逆，则

若A可逆，即有，使得，故

计算

若，则矩阵A可逆，且

其中，A为矩阵A的伴随矩阵。

性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作。

4、可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且(转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即，则，则。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有

2、假设B和C均是A的逆矩阵，，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A的逆矩阵可写作（A）和A，因此相等。

AB=AC

4、矩阵A可逆，有。由可逆矩阵的定义可知，A可逆，其逆矩阵为（A）。而（A）也是A的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此。

5、1）在两端同时左乘A（BA=O同理可证），得，故）由（同理可证），，等式两边同左乘A，因A可逆。得，即。

可逆的等价条件

1、齐次方程方程组仅有零解。

2、A行等价与单位矩阵I

3、A可写成若干个初等矩阵之积。

4、是（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。

证明

必要性：当矩阵A可逆，则有。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，

由行列式的性质：

则，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有

（其中是的伴随矩阵。）

当，等式同除以，变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

求法

求逆矩阵的初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵