相等向量是共线向量吗

问题描述

精选答案

两个概念不一样，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量(这个不管你长度会不会相等).表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上， 因此平行向量也叫共线向量。

相关介绍：

共线向量基本定理：

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的'长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

证毕。

推论

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

证明：

1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。

2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。