三角形重心有什么性质

问题描述

精选答案

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。

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三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB

由∠FAH=∠FCB得

四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。