重心是什么的交点有什么性质

问题描述

精选答案

重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

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证明一

1、重心到顶点的.距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

方法二 连接EF

利用三角形相似

求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC

利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△