y=arctanx的导数是什么?

问题描述

精选答案

arctanx的导数：y=arctanx，x=tany，dx/dy=secy=tany+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tany+1)=1/(1+x)。

相关介绍：

反函数求导法则

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f1(x)y=f1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的.导数等于直接函数导数的倒数。

例：设x=siny，y∈[π2,π2]x=siny，y∈[π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数.

解：函数x=sinyx=siny在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsinx)′=1(siny)′

=1cosy=11sin2y√=11x2√

=1cosy=11sin2y=11x2