双曲线的是什么

问题描述

精选答案

定义：我们把平面内两个定点F1与F2的距离的差的绝对值等于一个常数(值为2a)的轨迹称为双曲线。

双曲线

注：当MF₁-MF₂=2a时曲线仅表示焦点F2所对应的一只。

当MF₁-MF₂=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一只。

当F₁F₂=2a 时，动点轨迹表示以F1，F2为端点的两条射线

当F₁F₂＜2a时， 动点轨迹不存在

定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1.a、b、c不都是零.

2. b²- 4ac > 0.

3.a²+b²=c²

在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x²/a²- y/²b²= 1.

上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

标准方程

1，焦点在X轴上时为：

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

2，焦点在Y 轴上时为：

y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1

主要特点

轨迹上一点的取值范围

│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。

对称性

关于坐标轴和原点对称。

顶点

A(-a,0)， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.

B(0,-b）， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2

渐近线

焦点在x轴：y=±（b/a)x.

焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e)

令θ=0，得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）

令θ=PI，得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）

这两个x是双曲线定点的横坐标。

求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）

x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

（注意化简一下）

直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’

则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]

则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]

代入上式：

ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

现在可以用θ取代式中的θ’了

得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

其他回答

工程之家

双曲线是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于中轴的平面的交截线。