minkowski定理

问题描述

精选答案

闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论上，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国大奖中，Minkowski深入钻研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的论著。因为Gauss曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，Minkowski由前人的工作中认识到把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来，原题就很容易从更一般的理论中得出，Minkowski交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

Minkowski 此后仍继续研究n元二次型的理论。他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论(1905)，现称“Minkowski约化理论”。当Minkowski用几何方法研究n元二次型的约化问题时，获得了十分精彩而清晰的结果。他把用这种方法建立起来的关于数的理论为“数的几何”， 其中包括著名的闵克夫斯基原理。由这里又引导出他在“凸体几何”方面的研究，这项研究的副产品就是著名的Minkowski不等式：{Σ(ak + bk)r}1 ≦ {Σakr}1 + {Σbkr}1。

数学物理研究

Minkowski早年就对数学物理有兴趣，在Bonn大学任职时，他就曾协助物理学家赫兹(Hertz)研究电磁波的理论。

1905年以后，他几乎把所有的精力都放在电动力学上。

1907年，Minkowski体悟到可以用非欧空间的想法来理解洛仑兹（Lorentz）和Einstein 的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空结讲中：ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 这种结构后来被称为"Minkowski's World"。据此，同一现象的不同描述能用简单的数学方式表出。这些工作为广义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主马克斯·玻恩（M. Born） 曾说，他在Minkowski的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。Minkowski 在这方面的著述主要有1907年的 Raum und Zeit 和1909年的 Zwei Abhandlungen uer die Grundgleichungen der Elektrodynamik。

主要贡献

闵可夫斯基工作的主要领域在数论、代数和数学物理方面。在数论领域，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国科学院悬赏的大奖中，闵可夫斯基钻研了高斯、狄利克雷等人的论著，深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。此后，闵可夫斯基继续研究，于1905年建立了实系数正定二次型的约化理论，被称为“闵可夫斯基约化理论”。

在数学物理方面，闵可夫斯基在波恩大学任职时，曾协助著名物理学家赫兹研究电磁波的理论。

1905年以后，闵可夫斯基将几乎所有精力放在电动力学上。

1907年，闵可夫斯基认识到可以用非欧空间来描述洛仑兹和爱因斯坦的工作，将过去被认为是独立的时间和空间结合到一个四维的时空结构中，即闵可夫斯基时空。闵可夫斯基时空为广义相对论的建立提供了框架。

为纪念这位数学家，第12493号小行星以他的名字“闵可夫斯基”命名。

其他回答

IT海盗

坐标平面上任何包含原点的、面积大于4的、凸的、关于原点对称的闭区域一定含有异于原点的整点就是闵可夫斯基定理。

验证推导

任取一个关于原点对称且面积大于1的封闭凸图形，一定存在两点，使横纵坐标之差为整数。

设其中一点坐标为(x0,y0)，另一点为(x0+k,y0+b)(k,b∈Z)，并且(x0,y0)、(x0+k,y0+b)都在图形内。因图形关于原点对称，所以对于任意点(x,y)，若其在图形中，则关于原点的对称点(-x,-y)也在图形中。所以(-x0-k,-y0-b)在图形中。连接点(x0,y0)和点(-x0-k,-y0-b)，取中点((x0+(-x0-k))/2,(y0+(-y0-b))/2)，由图形为凸区域知，中点在图形内。将图形以原点为位似中心，扩大两倍。中点则为(k,b)，新图形面积大于4，且中点是整点，位于图形内。

对于任意一个满足条件的图形，都可以先缩小，找到中点后扩大，这样一定有一异于原点的整点在图形内，命题得证。