Z变换已知极点怎么求收敛域

问题描述

精选答案

Z变换的存在充分必要条件是：级数绝对可和。使级数绝对可和的成立的所有Z值称为Z变换域的收敛域。由Z变换的表达式及其对应的收敛域才能确定原始的离散序列。 收敛域可用公式表示为：

（1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有 的收敛域是整个Z平面；

（2）在收敛域内没有极点，X(Z)在收敛域内每一点上都是解析函数。 （1）有限长序列

指序列只在有限长的区间内为非零值，即

显然|Z|在整个开域 都能满足Z变换存在条件，因此有限长序列的收敛域是除0及∞两个点（对应n>0和n<0不收敛）以外的整个Z平面： 。如果对n1，n2加以一定的限制，如 或 ，则根据条件 ，收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域。

（2）右边序列

指序列 只在 有值，而 时， ，这时 ，其收敛域为收敛半径 以外的Z平面，即 。右边序列Z变换可表示为：

（3）左边序列

指序列 只在 有值，而 时， ，这时，其收敛域为收敛半径 以内的Z平面，即 。左边序列Z变换可表示为：

（4）双边序列

可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域是这两个序列Z变换收敛域的公共部分。双边序列Z变换可表示为：

（如果 ，则存在公共的收敛区间， 有收敛域： 如果 ，无公共收敛区间， 无收敛域，不收敛。 ）