傅里叶变换是实变函数的哦

问题描述

精选答案

数学上也并不是巧合。

首先明确一点，对于实值信号和有对称性的纯虚复信号来说，其傅里叶变换是存在对称性的，没有对称性的纯虚信号或非纯虚复信号来说不存在对称性。

这个对称性其实就是实值信号傅里叶变换的一个重要性质：共轭对称。

推导的话大致如下：

因为任意一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

而很容易通过将这个形式带入到傅里叶变换的公式中可以证明：奇函数的FT是奇函数，偶函数的FT是偶函数。

引入虚函数和实函数的概念的话，也很容易证明：实偶函数的FT是实偶函数，实奇函数的FT是虚奇函数；虚偶函数的FT是虚偶函数，虚奇函数的FT是实奇函数。

进一步的，自然就可以想到，即便函数本身不具备对称性，实函数可以拆解为实偶函数+实奇函数，它的的FT是实偶函数+虚奇函数。我们知道傅里叶变换的结果是不能在一张图里面画出来的，所以在实部和虚部两张图上，都可以看到对称性。即实函数的傅里叶变换，其实部为频率的偶函数，虚部为频率的奇函数。

用以上的方法也可以证明，虚偶函数的频谱为虚偶函数，虚奇函数的频谱为实奇函数，结合以上实值信号的频谱对称性可知，通常意义上的复信号不具备对称性。

ps: 如果将实值函数的FT表示为模和相位形式，结合函数的嵌套也很容易证明，模是偶函数，而相位是奇函数。