代数基本原理

问题描述

精选答案

代数基本定理 (fundamental theorem of algebra) 说：每一个 (一元) 复系数多项式都至少有一个复根，它在数学的所有分支中都有基本的意义。

由此可以得出一系列重要的推论：

每一个复系数多项式在复数域中都可以完全分解为线性因子的乘积，或者说，复数域是代数闭域；

次数为的复系数多项式有个复根 (几重根算几个)；

多项式环的素理想只能形如；

实数域唯一的非平凡代数扩张就是复数域，等等。

由于复数域的定义基于实数域的定义，而实数域的定义必定涉及到其拓扑结构 (完备性)，所以代数基本定理的每一个证明都必定涉及到某种分析学或拓扑学的构造，而没有"纯粹代数"的证明。