矩阵的几阶子式是什么

问题描述

精选答案

在n阶行列式中，把所在的第i行与第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式叫元的子式。

行列式与代数余子式的关系

行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和 。

D=ai1Ai1+ai2Ai2+......+ainAin (i=1,2,3,......n)；

D=a1jA1j+a2jA2j+......+anjAnj (j=1,2,3,......n)。

由于一共有k种方法来选择该保留的行，有k种方法来选择该保留的列，因此A的k阶余子式一共有 Ckm*Ckn个。

如果m=n，那么A关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式，简称为A的k阶余子式。

n×n的方块矩阵A关于第i行第j列的余子式Mij是指A中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为A的（i，j）余子式。

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。

n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解，

称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

代数余子式和伴随矩阵一个矩阵的

（i，j）代数余子式

是指A的（i，j）余子式Mij与

的乘积，即：

A的余子矩阵是指将A的（i，j）代数余子式摆在第i行第j列所得到的矩阵，记为C。

C的转置矩阵称为A的伴随矩阵，伴随矩阵类似于逆矩阵，并且当A可逆时可以用来计算它的逆矩阵。

一个n×n的正方矩阵A的行列式记为

或者

,一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或

。

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5)知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的

其他回答

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“子式”是指行列式。一个m行n列的矩阵简称为m*n矩阵，特别把一个n*n的矩阵成为n阶正方阵，或者n阶矩阵。此外，行列式的阶数与矩阵类似，但是行列式必然为一个正方阵。

假定A是一个mXn矩阵, 任取A的k 行和k列, 位于这k 行和k列交汇点处的k^2个元素按原来的顺序构成一个k阶行列式,这个k阶行列式就称为矩阵A的一个k阶子式. 这就是子式的概念.