如何判断这个级数是绝对收敛还是条件收敛

问题描述

精选答案

在数学中，级数收敛有两种形式，即绝对收敛和条件收敛。

若一个级数$

sum a_n$的所有非负项子序列之和收敛，则称该级数绝对收敛；若它本身收敛而其正项子序列和负项子序列之和均为无穷大，则称该级数条件收敛。绝对收敛比条件收敛更强，绝对收敛的级数在重排后仍然收敛，条件收敛则不一定。因此，判断一个级数是绝对收敛还是条件收敛非常重要，可以采用以下方法：

1. 比较判别法

若对于级数$

sum a_n$，存在绝对值级数$

sum |a_n|$收敛，则原级数$

sum a_n$绝对收敛。如果绝对值级数$

sum |a_n|$发散，则无法判断原级数的收敛性，需要尝试其他方法。

2. 比值判别法

若$

lim

limits_{n

o

infty}

dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1$，则级数$

sum a_n$绝对收敛；若$

lim

limits_{n

o

infty}

dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>1$，则级数$

sum a_n$发散；若$

lim

limits_{n

o

infty}

dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=1$，则无法判断级数的收敛性，需要尝试其他方法。

3. 积分判别法

若函数$f(x)$单调递减，非负，且$f(x)$在无穷积分$

int_1^{+

infty}f(x)dx$收敛，则级数$

sum_{n=1}^{

infty}f(n)$绝对收敛；若无穷积分$

int_1^{+

infty}f(x)dx$发散，则级数$

sum_{n=1}^{

infty}f(n)$发散。需要注意的是，在使用积分判别法时，一定要注意级数和函数的一一对应关系。

4. Abel定理

若级数$

sum a_n$收敛，而数列$

{b_n

}$单调有界，则级数$

sum a_n b_n$收敛。需要注意的是，在使用Abel定理时，一定要注意选择合适的$b_n$，保证其单调有界。

以上是判断级数收敛的一些方法，不同的级数可以采用不同的方法进行判定。

其他回答

小李说教师招考

为了判断某个级数是绝对收敛还是条件收敛，可以用收敛半径法进行测试。该方法的步骤如下：

1. 计算级数的前N项和；

2. 计算第N+1项截尾误差；

3. 比较第N+1项截尾误差和收敛半径的大小。

如果第N+1项的截尾误差大于收敛半径，则说明该级数是条件收敛的；如果第N+1项的截尾误差小于收敛半径，则说明该级数是绝对收敛的。

其他回答

趣话聊经济

先判断是否收敛，如果收敛，且为交错级数，则绝对收敛，就是交错级数如果加绝对值收敛则为条件收敛，交错级数不加绝对值也收敛，则为绝对收敛。

其他回答

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判断级数的绝对收敛或条件收敛需要根据级数的正项级数和其余项级数分别进行讨论。如果正项级数发散，那么整个级数一定发散；如果正项级数收敛，那么我们需要判断其余项级数的收敛性。如果其余项级数也收敛，那么原级数绝对收敛；如果其余项级数发散，那么原级数条件收敛。因此，要判断一个级数的收敛性，需要进行正项级数和其余项级数的分别讨论，并考虑其收敛性。