满秩分解产生的原因

问题描述

精选答案

定理

设A∈Cm×nrA∈Crm×n，那么存在B∈Cm×rr,C∈Cr×nrB∈Crm×r,C∈Crr×n，使得：A=BC；其中B为列满秩矩阵，C为行满秩矩阵；这样的分解为矩阵的满秩分解。

证明1

因为rank(A)=rrank(A)=r,所以A有r个线性无关的列向量ai1,ai2,ai3,…,airai1,ai2,ai3,…,air，记作F=(ai1,ai2,ai3,…,air)F=(ai1,ai2,ai3,…,air)，而A的所有列向量均可由他们线性表示，即存在r×nr×n 的矩阵G，使得A=FG，显然F∈Cm×rrF∈Crm×r,又r=rank(A)=rank(FG)≤rank(G)≤rr=rank(A)=rank(FG)≤rank(G)≤r,即rank(G)=rrank(G)=r

证明2

因为A的秩为r ，所以由等价分解原理可知，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=(Er000)PAQ=(Er000)；令F=P−1(Er0)，G=(Er0)Q−1F=P−1(Er0)，G=(Er0)Q−1，其中设B=(Er0)B=(Er0)，则F=P−1BF=P−1B。则FF为m×rm×r列满秩矩阵，GG为r×nr×n行满秩矩阵，故结论成立。