收敛函数定义

问题描述

精选答案

假设在定义域上可以定义一族函数 他们的定义域相同， 此时 我们任取定义域中的一个点 a ，在这个点a上, 此前定义的一族函数的值全部确定了。 也就是说我们得到了可数多个数值， 有了可数多个数值， 就有了一个数列，这个数列就是（f_n(a)). 既然有了数列，就可以讨论数列的收敛问题。 如果数列 f_n (a) 收敛于某一个数， 而这个数 恰巧是某一个函数f 在a点的值。 因为a是定义域内任意的点，也就是说我们在定义域内每个点每个点的去看都满足上述数列的性质。 则出现了一个 新的函数f 定义于定义域上。这个函数 就叫做极限函数 ，这种收敛 就叫做逐点收敛 pointwise convergence （即 对于每一个定义域中的点，函数族在该点上形成的数值数列收敛于极限函数在该点上的数值）。

针对于逐点收敛，在每点上的收敛速度是不同的。 从定义来看，

epsilon-N 中的 大N 依赖于a点，但是这种逐点收敛并不能保证一些性质， 即连续函数族是否逐点收敛到连续函数，可微函数族是否收敛到可微函数，以及逐点收敛能否保证可积性，等等等等。 基于以上考虑， 我们要修正逐点收敛的定义，以定义出新的更加精准的定义去保证我们上述提到的东西。 这样我们便引出了一致收敛定义。即N仅仅依赖于

varepsilon从图上来看， 每点去躺到极限函数的速度是一致的。 几何解释为 在极限函数周围 画一个带子 半径是

varepsilon 函数族从某一个大N开始 以后所有的函数 都落在这个带子中

其他回答

公务员考霸

收敛函数，它由函数在某点收敛引伸而来，因此：

①先得弄清楚函数在某点收敛

函数在某点收敛，是指自变量取值趋向该点时，其函数的极限等于该点的函数值。

②收敛函数

若函数在其定义域内的每点都收敛，则称其为收敛函数