知道两直线的解析式，求其夹角角平分线解析式

问题描述

精选答案

这题用角平分线的性质很容易解决。

角平分线上一点到角的两边距离相等。

注意一下这条角平分线的特殊性：它是直角的角平分线。

这题显然不是高考难度啊，如果有兴趣题主可以思考一下：

已知角平分线斜率为k，用k表示PQ的斜率。

解答时间～

先来看第一问。

为什么说要注意AM是直角的平分线呢？

角PAM=角QAM=45º，如果我们再过角平分线上一点向两边作垂线，是不是就得到两个等腰直角三角形呢？

等腰直角三角形三边长度的关系大家应该是很清楚的——1，1，根号2嘛。

这条角平分线又是已知的。找这上面比较简单的一个点吧，比如它与x轴交点，记为N。

那N到两直线距离应该要相等，而且都应该

等于AN的二分之根号二倍

。AN是好求的，这样我们就把能AP和AQ的方程求出来了。

然后联立直线与椭圆方程，解出两点坐标，就能求斜率了。

这个数据还是有点麻烦的。

第二问能否借鉴上一问的做法呢？

可以，但过程就会显得比较繁琐了。

我们从另一个角度来思考。

联想到角的动态定义，角是始边旋转到终边形成的。

那角PAM可以理解为

AM顺时针转过45º到AP形成的角

，同理角QAM可以理解为

AM逆时针转过45º到AQ形成的角

。

所以我们可以说：

AP的倾角等于AM的倾角减去45º，AQ的倾角等于AM的倾角加上45º

（请读者自证）。

这样我们就可以直接写出两直线的斜率来了。

最令人热（tou）血（hun）沸（nao）腾（zhang）的部分——化简！

用我们老师的话来说：

不要怕！你怕它，它不怕你！你怕你就算不对！

（然后他就算错了）

我尽量一步一步写吧。

这个化简还算比较友善。至少原来式子的结构挺对称的。

注：原本是有第三问的，但我实际操作了一下，难度实在太大，远远高于高考题难度，所以删去了。如果感兴趣，上面的图中有题目。