交点式和一般式的推导

问题描述

精选答案

1、公式法：

Y=aX²+bX+c

=a(X+b/2a)²+(4ac-b²)/4a.

2、配方法：

Y=aX²+bX+c

=a[X²+b/aX+(b/2a)²]+c-b²/4a

=a[X+b/2a]²+(4ac-b²)/4a.

二、二次函数交点式公式推导

设二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 与直 $y=k$ 相交于点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，其中 $k$ 为任意实数。

则有 $ax_1^2+bx_1+c=k$ 和 $ax_2^2+bx_2+c=k$。

将二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 代入上式，得到 $ax_1^2+bx_1+c=ax_2^2+bx_2+c$。

移项得 $ax_1^2-ax_2^2+bx_1-bx_2=0$，即 $a(x_1-x_2)+b(x_1+x_2)=0$。

于 $a

eq0$，所以 $x_1-x_2+

frac{b}{a}(x_1+x_2)=0$，即 $(x_1+x_2)=-

frac{b}{a}(x_1-x_2)$。

将 $(x_1+x_2)$ 代入 $ax_1^2+bx_1+c=k$ 中，可得 $ax_1^2+b(-

frac{b}{a}(x_1-x_2))+c=k$。

化简得 $ax_1^2-

frac{b^2}{a}x_1+

frac{b^2}{4a^2}(x_1-x_2)^2+c=k$。

于 $a

eq0$，所以 $

frac{b^2}{4a^2}(x_1-x_2)^2=

frac{b^2}{4a^2}(

frac{-b}{a})^2=

frac{b^2}{4a}$。

将 $

frac{b^2}{4a}$ 代入上式，得到 $ax_1^2-

frac{b^2}{a}x_1+

frac{b^2}{4a}+c=k$。

移项得 $ax_1^2-

frac{b^2}{a}x_1+

frac{b^2}{4a}-k=-c$。

于 $a

eq0$，所以 $4a(ax_1^2-

frac{b^2}{a}x_1+

frac{b^2}{4a}-k)=-4ac$。

化简得 $4a^2x_1^2-4abx_1+b^2-4ak=-4ac$。

移项得 $4a^2x_1^2-4abx_1+b^2-4ak+4ac=0$。

将 $x_1$ 换成 $x_2$，得到 $4a^2x_2^2-4abx_2+b^2-4ak+4ac=0$。

上所述，二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 与直 $y=k$ 交点坐标为：

$$

begin{cases}

x_1=

frac{b+

sqrt{b^2-4ac+4ak-4ak}}{2a}

x_2=

frac{b-

sqrt{b^2-4ac+4ak-4ak}}{2a}

y_1=k

y_2=k

end{cases}

$$

化简得：

$$

begin{cases}

x_1=

frac{-b+

sqrt{b^2-4a(k-c)}}{2a}

x_2=

frac{-b-

sqrt{b^2-4a(k-c)}}{2a}

y_1=k

y_2=k

end{cases}

$$

其他回答

IT科技先知道

在解析几何中，交点式和一般式是两种常用的描述平面或直线的方法。

一、交点式：

对于两条直线的交点，我们可以通过求解它们的方程组来得到交点的坐标。以两条直线的一般方程为例：

直线1: ax + by + c1 = 0

直线2: dx + ey + c2 = 0

通过求解方程组，我们可以得到交点的坐标(x, y)。具体步骤是将直线1和直线2的方程代入方程组，得到一个线性方程组，解该线性方程组即可得到交点的坐标。

二、一般式：

直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0。

如果我们已知一条直线过点P(x1, y1)且与方向向量V(a, b)垂直，我们可以得到这条直线的一般式方程。具体步骤如下：

1. 确定直线上的另一点Q(x, y)。

2. 得到向量PQ，即向量(x - x1, y - y1)。

3. 使用向量的内积，计算点积PQ·V。根据垂直关系，点积应该等于0。

4. 将坐标代入点积表达式，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

通过推导得到一般式方程，我们可以得到直线的斜率和截距等信息。

需要注意的是，交点式和一般式各有其适用范围和用途，在解决实际问题时要根据具体情况选择合适的表达方式。

其他回答

IT科技先知道

把交点式用多项式乘法化成ax平方加bx加c等于零，就变为一般式