100 如何找到半圆形的中心点

问题描述

精选答案

说说我的一些比较肤浅的看法。因为许多东西还没有证明。

首先，凸多边形应该有一个中心点，这个中心点到每个边的距离相等。如果不存在这个点，那就找一个点，每个变距离的方差最小。这个点作为多边形的重心。

然后，把矩形的中心放在多边形的重心之上，调整多边形四个顶点的位置，寻找面积最大的矩形即可。

可以先找出重心，然后以此为原点建立一个极坐标系。

决定矩形的变量有对角线的一半的长度R，对角线和坐标的夹角a和对角线夹角b。

这样，矩形可以表示成（R，a），（R，a+b）这两个点的位置（因为是标准矩形，另外两个点的位置肯定也随之确定了，分别是（R，-a），（R，-a-b）），面积S=S

（R，b），也可以用初等数学原理推导出具体表达式，要求的是S的最大值。

R，a，b，这三个变量的取值显然和多边形的各变的分部有关。各个边的解析式都是固定的。可分别记作：

N1（L，c）=0，L，c属于XXXXX

N2（L，c）=0，～～～～

……

Nn（L，c）=0，～～～～

因为是n边形，所以有n个解析式。但决定顶点位置的只有其中的四个边，这取决于构建矩形时a的大小和b的大小。

总之，我们首先可以列出

S=S（R，b）

其次，根据多边形的构成，我们可以列出，a属于xx，b属于xx时，R属于xxx。

然后加入限制条件，用拉格朗日乘数法，解出S的极值。

难点是，多边形是不确定的，所以极值的限定条件不太容易确定。

还有最大矩形的中心一定在多边形的中心吗？这我只是凭直觉，没有证明……

只能回答到这里了，谢邀。

更正一下，之前概念理解有误，重心不是中心。原点应该选在物理学的重心位置。

之所以选择重心位置，是因为它是重要的分割点，以重心画一条直线，刚好可以把图形面积平分。

图画得不好……

如果球得的矩形重心发生偏移，比如重心从A偏移到B，那么A的右侧要剔除的面积要大于左侧，偏移得越大差别越大。如果这样的话，如果这个矩形是唯一的也不能平移到重心位置，那么矩形右边两顶角会落在多边形边缘或离边缘很近，而右侧刚好要剔除更多的面积，这个多边形很难维持凸多边形的形态。

但也不排除重心偏离很少的情况。所以我觉得绝大多数情况都可以这样做，至少工程应用上有可行性。

但应该还有更好的解。