PA,PB,PC两两垂直,PA=3,PB=4,PC=5,求点Q使QP+QA+QB+QC之和最小

问题描述

精选答案

以P为原点，PB为Y正轴，PC为X正轴，PA为Z正轴

√[(x-4)²+y²+z²]+√[x²+(y-5)²+z²]+√[x²+y²+(z-3)²]+√[x²+y²+z²]

当√[(x-4)²+y²+z²]=√[x²+(y-5)²+z²]=√[x²+y²+(z-3)²]=x²+y²+z²时，QP+QA+QB+QC之和最小

即：(x-4)²+y²+z²=x²+(y-5)²+z²=x²+y²+(z-3)²=x²+y²+z²

前三式减最后一式得：

-8x+16=0,x=2

-10y+25=0,y=5/2

-6z+9=0,z=3/2

则Q点为：Q(2,5/2,3/2)全文以P为原点，PB为Y正轴，PC为X正轴，PA为Z正轴

√[(x-4)²+y²+z²]+√[x²+(y-5)²+z²]+√[x²+y²+(z-3)²]+√[x²+y²+z²]

当√[(x-4)²+y²+z²]=√[x²+(y-5)²+z²]=√[x²+y²+(z-3)²]=x²+y²+z²时，QP+QA+QB+QC之和最小

即：(x-4)²+y²+z²=x²+(y-5)²+z²=x²+y²+(z-3)²=x²+y²+z²

前三式减最后一式得：

-8x+16=0,x=2

-10y+25=0,y=5/2

-6z+9=0,z=3/2

则Q点为：Q(2,5/2,3/2)全文以P为原点，PB为Y正轴，PC为X正轴，PA为Z正轴

√[(x-4)²+y²+z²]+√[x²+(y-5)²+z²]+√[x²+y²+(z-3)²]+√[x²+y²+z²]

当√[(x-4)²+y²+z²]=√[x²+(y-5)²+z²]=√[x²+y²+(z-3)²]=x²+y²+z²时，QP+QA+QB+QC之和最小

即：(x-4)²+y²+z²=x²+(y-5)²+z²=x²+y²+(z-3)²=x²+y²+z²

前三式减最后一式得：

-8x+16=0,x=2

-10y+25=0,y=5/2

-6z+9=0,z=3/2

则Q点为：Q(2,5/2,3/2)全文