讨论函数间断点

问题描述

精选答案

笔者认为：间断点要求在在点的去心邻域（有的教科书叫做空心领域）有定义，并不要求在间断点处有定义。

一般来说：

函数值不存在（即函数在该点处无定义），左右极限存在且相等；或者函数值存在，同时左右极限存在且相等，且不等于函数值，叫做

可去间断点

。

无论函数值存在与否，左右极限存在且不相等，叫做

跳跃间断点

。跳跃间断点和可去间断点，统称为

第一类间断点

。

无论函数值存在与否，左右极限至少有一个不存在，叫做

第二类间断点

。常见的第二类间断点有

无穷间断点

，

振荡间断点

。

由上述1.2.3,尤其是2,3可以看出，

间断点的定义与函数在该点处是否有定义无关

。

由于目前大学里多数教科书在给出间断点的定义的时候，往往第1点说的不够详尽清楚。因此有人可能认为我的第一点有问题，也就是

可去间断点

特立独行地要求函数值处有定义。但是以下教科书中的例子可以说明一些问题：

是函数的

可去间断点

。明显，在处没有定义，但左右极限存在且均等于0。

事实上，有结论：初等函数的无定义的孤立点，一定是间断点。

ps: 关于第一类间断点，有些教科书定义上，第一类间断点等价于跳跃间断点，把

可去间断点

独立于第一类第二类间断点之外，意义不大。如果可去间断点不属于第一类间断点，难道称作第零类间断点吗，对此笔者表示无奈。并且相对来说可去间断点和跳跃间断点的定义如此接近，真不应该不同属于第一类间断点。最后，这个问题讨论意义不大，不深表。

对于可去间断点，对于函数在该点处无定义的情况，完全可以补充该点的定义，使得其函数值等于左右极限值。同时，这样往往使得处理问题更加方便。