不定积分平方和差公式推导

问题描述

精选答案

差公式推导：要推导平方和差公式，我们先考虑一个简单的情况，即求解 $

int (f(x))^2 dx$。设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个不定积分，即 $F'(x) = f(x)$。则根据牛顿-莱布尼茨公式，$

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) -

int F'(x)f(x) dx$。由于 $F'(x) = f(x)$，上式可以简化为 $

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) -

int f(x) f(x) dx$。进一步简化为 $

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) -

int (f(x))^2 dx$。移项得到 $

int (f(x))^2 dx +

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x)$。合并同类项得到 $2

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x)$。最后，将等式两边除以2，得到平方和差公式：$

int (f(x))^2 dx =

frac{1}{2} F(x)f(x) + C$，其中 $C$ 是常数。对于差公式，我们只需要稍作修改即可。设 $G(x)$ 是 $g(x)$ 的一个不定积分，即 $G'(x) = g(x)$。则根据牛顿-莱布尼茨公式，$

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) -

int F'(x)f(x) dx$。由于 $F'(x) = f(x)$，上式可以简化为 $

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) -

int f(x) g(x) dx$。进一步简化为 $

int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) -

int f(x) g(x) dx$。移项得到 $

int (f(x))^2 dx +

int f(x) g(x) dx = F(x)f(x)$。合并同类项得到 $

int (f(x))^2 dx +

int f(x) g(x) dx = F(x)f(x)$。最后，我们可以将方程两边有理分式相除得到差公式：$

int (f(x))^2 dx -

int (g(x))^2 dx = F(x)g(x) + C$，其中 $C$ 是常数。这样，我们就推导出了平方和差公式。

其他回答

路桥工程圈

x2arctanx(1/1+x^2)]dx

=x(arctanx)^2+∫arctanx(d1+x^2/1+x^2)

=x(arctanx)^2+∫arctanx*2d(1+x^2)

=x(arctanx)^2+2[(1+x^2)arctanx-(1+x^2)*(1/1+x^2)]

=x(arctanx)^2+2(1+x^2)arctanx-2x+c

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在