三角函数相乘周期公式推导

问题描述

精选答案

如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且(P1、P2)=1

∵f(x+ P1T2)=f1(x+ P1T2)+f2(x+ P1T2)

=f1(x+ P2T1)+ f2(x+ P1T2)

= f1(x)+ f2(x)

=f(x)

∴P1T2是f(x)的周期，同理P2T1也是函数f(x)的周期。

当T为一个三角函数的周期时，NT也为这个三角函数的周期。其中N为不为0的正整数。

三角函数的周期公式

y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h，则周期T=2π/ω。

y=Acot(ωx+φ)+h或y=Atan(ωx+φ)+h，则周期为T=π/ω。

若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的比较小正数l，称为f(x)的（基本）周期。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。

求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若函数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解。

三角函数比较小正周期

如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个比较小的正数，那么这个比较小的正数就叫做f（x）的比较小正周期。

（1）y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h比较小正周期T=2π/ω。

（2）y=Acot(ωx+φ)+h或y=Atan(ωx+φ)+h比较小正周期T=π/ω。

（3）y=|sinωx|或y=|cosωx|的比较小正周期T=π/|ω|。

（4）y=|tanωx|或y=|cotωx|的比较小正周期T=π/|ω|