域扩张 次数定理

问题更新日期：2024-10-29 05:41:34

问题描述

精选答案

设分裂域为K/F,次数取决于多项式在F中根的个数， 如果三个根都在F中，显然次数为[K:F]=1 只一个根在F中，则三次多项式f(x)=(x-c)(x^2+ax+b),其中x^2+ax+b在F中不可约，作K=F[x]/(x^2+ax+b),令α=x+(x^2+ax+b)，则K=F(α)为(x^2+ax+b)的分裂域，次数为2，由于c属于F，则K为三次多项式f(x)的分裂域,次数为2 f(x)在F中不可约，f(x)=x^3+ax^2+bx+c,类似情况2中作出一个K=F(α),[K:F]=3,则f(x)在K中可约f(x)=(x-α)(x^2+mx+n),m,n属于K,若(x^2+mx+n)在K中不可约，则由2中推理过程知，设E/K为(x^2+mx+n)分裂域，则[E:K]=2,故[E:F]=[E:K]*[K:F]=6,若(x^2+mx+n)在K中可约,则K为f(x)=x^3+ax^2+bx+c的分裂域，次数为3.

其他回答

机械工程师笔记

可以先证明:Q(√2+√3)=Q(√2,√3)、求出扩张次数。

容易验证 Q(2^{1/3}+4^{1/3})=Q(2^{1/3})，所以是Q的三次扩张。

只一个根在F中，则三次多项式f（x）=（x-c）（x^2+ax+b），其中x^2+ax+b在F中不可约，作K=F［x］/（x^2+ax+b），令α=x+（x^2+ax+b），则K=F（α）为（x^2+ax+b）的分裂域，次数为2，由于c属于F，则K为三次多项式f（x）的分裂域，次数为2。

其他回答

建筑师小鱼

扩张次数 (degree of extension)决定扩域结构的一个数。设E是F的扩域，E作为F上向量空间的维数称为此域扩张的次数，记为[E " F'].当[E " F]<二时，称此域扩张为有限扩张，当[E " F'}一二时，称此域扩张为无限扩张，而扩域E分别称为有限扩域与无限扩域.F的任何有限扩域必为代数扩域.