M为MC的中点。求证AF平行平面MBD。求过程

问题描述

精选答案

正方形ABCD中，AD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，故①正确；DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD2+AF2=DF2，由△EDG∽△BDE得，=，∴DG DB=DE2，∵DE=DF，∴AD2+AF2=DG DB，故③正确；连接BM、DM，∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，∴BM=DM=EF，又∵BC=CD，∴直线CM是BD的垂直平分线，过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，∵MC=，∴MH=×=1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF=2MH=2，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④．故选D．