在一个圆中，一条弦是另一条弦的两倍，那么它们的弧和圆心角有什么关系

问题描述

精选答案

根据余弦定理

cos∠COD=(r^2+r^2-CD^2)/2r^2=(2r^2-CD^2)/2r^2=1-CD^2/2r^2

cos∠AOB=(r^2+r^2-AB^2)/2r^2=(2r^2-AB^2)/2r^2=1-AB^2/2r^2

因为CD=2AB

所以CD^2=4AB^2

(1-cos∠COD)*2r^2=4*(1-cos∠AOB)*2r^2

(1-cos∠COD)/(1-cos∠AOB)=4

[2sin^2(∠COD/2)]/[2sin^2(∠AOB/2)]=4

sin(∠COD/2)=2*sin(∠AOB/2)

因为CD弧=∠COD*r，AB弧=∠AOB*r

所以sin(CD弧/2r)=2*sin(AB弧/2r)

综上所述，若长弦是短弦的两倍，则：

（1）长弦对应的圆周角的正弦值，等于短弦对应的圆周角的正弦值的两倍

（2）长弦对应的劣弧与直径的商的正弦值，等于短弦对应的劣弧与直径的商的正弦值的两倍