椭圆的共轭定理

问题描述

精选答案

椭圆的共轭点定理：

椭圆(x/a)2+(y/b)2=1的右顶点A(a,0)、上顶点B(0,b)，共轭点P(xp,yp)在椭圆弧AB上，其中xp=a√[a/(a+b)]、yp=b√[b/(a+b)]。则

(BP)-(AP)=a-b（小括号表示椭圆弧长）

证明：

（1）由第二类椭圆积分加法公式：

令x1=x2=θ且sinθ=1/√[1+√(1-k2)]代入上式化简得

2E(θ；k) - E(k) = 1-√(1-k2)

（2）令xp=a√[a/(a+b)]=a*sinθ、yp=b√[b/(a+b)]=b*cosθ

得 sinθ=√[a/(a+b)]=1/√[1+√(1-e2)]（e为离心率）

∴ (BP)-(AP)=2(BP)-(AB)=2a*E(θ；e)-a*E(e)

=a[1-√(1-e2)]=a-b 得证