pde计算公式

问题描述

精选答案

1. 偏微分方程

偏微分方程（Partial Differential Equation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。

在物理模型中，最常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。最简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。

2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论

一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式：

a∂2u∂x2+b∂2u∂x∂y+c∂2u∂y2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu(x,y)+g(x,y)=0

根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式：

Δ=b2−4ac>0⇒双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统

Δ=b2−4ac=0⇒抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统

Δ=b2−4ac<0⇒椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统

常见的经典二阶线性偏微分方程：

1) 波动方程：∂2u∂t2−1a2∇2u=f(x,y,z,t)，一维的波动方程 Δ=1a2>0 属双曲型方程；

2) 热传导方程：∂u∂t−k∇2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 属抛物型方程；

3) 泊松方程：∇2u=f(x,y,z,t) 其齐次形式 ∇2u=0 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。

3. 初始条件和边界条件

正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。

边界条件

边界条件规定了未知量 u 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 u 的偏微分方程的区域关于自变量x的边界是x=x1和x=x2（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式：

u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)

就构成了一组边界条件。

一般地说，边界面的形状记作Σ，则比如：

1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：u(x,y)|Σ=ϕ(x,y)