df是值域还是定义域

问题描述

精选答案

定义域：domain of function

值域：range of function

可以用微分形式来讲，这样又严格又简明：

对任意映射f:M->N，定义df是在切空间诱导的线性映射，对f是实函数的情形，f: M->R，任一点p∈M, df基本上就是该点函数图像的切平面，任意M上的切向量X, df(X)就是f在X的方向导数。

x只是一个普通的函数——坐标函数，就是说，任一点p, x(p)定义为p的横坐标(或第一个坐标) 。

所以如果你理解了dy，你就理解了dx，在一元微积分的情形，M=N=R，y=f(x)把x轴上的点映到y轴上的点，但是一般这映射不是线性的，比如f(x)=x^2，就不是一次的。但是只要f足够好（可导），我们就可以在任一点附近用线性映射来近似，比如当x=1时，g(x)=f'(1)*x=2x就是对x=1附近的f(x)=x^2的（一阶）近似，近似的精度用有限增量公式表达：f(x)-f(1)=g(x)+o(x-1)。这个近似是线性的，这就是由f在切空间诱导的那个。

f的微分就定义成df，所以dx就是x(这个函数)的微分。

然后根据微分形式的不变性（就是链式法则），定义微分形式df的积分为f的普通黎曼积分。

这时候，因为微分是在切空间的近似，确实可以把微分df想象成函数的小变动（因为有限增量公式只有在自变量变动很小时近似才有效，而变动趋于0时，这近似就趋于完美）。同样的dx可以想象成x这个函数的小变动。这对于物理学家来说，他们就是这么思考问题的，很方便而且很有效。