证明隐式欧拉公式是一阶方法

问题描述

精选答案

用拓朴学方法证明欧拉公式 尝欧拉公式：

对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假 设f，e和v分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么 f-e+v=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

证明 ：

（1）把多面体看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，假设f′，e′和v′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明f′-e′+v′=1。

（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止。每引进一条对角线，f′和e′各增加1，而v′却不变，所以f′-e′+v′不变。因此当完全分割成三角形的时候，f′-e′+v′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）如果某一个三角形有一边在边界上，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即ac，这样也就去掉了△abc。这样f′和e′各减去1而v′不变，所以f′-e′+v′也没有变。 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即df和ef，这样就去掉△def。这样f′减去1，e′减去2，v′减去1，因此f′-e′+v′仍没有变。

（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，这时f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，

（8），我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此f′-e′+v′仍然没有变。 即f′-e′+v′=1 成立，于是欧拉公式： f-e+v=2 得证。 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。

其他回答

建筑BIM人

隐式欧拉方法是一阶方法的证明可以通过Taylor级数展开来进行。通过将隐式欧拉方法的近似解与精确解进行比较，可以得到一个误差项，然后利用泰勒级数展开得到近似解和精确解的关系，最终可以证明隐式欧拉方法是一阶方法。

具体来说，隐式欧拉方法的截断误差与步长成线性关系，这意味着隐式欧拉方法的截断误差随着步长的减小而减小，符合一阶方法的定义。因此，通过数学推导和分析，可以证明隐式欧拉方法是一阶方法。