狄拉克方程是如何提出并得到证明的

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精选答案

我们知道，薛定谔方程是非相对论性的，而K-G方程是相对论性的。

但K-G方程存在着两个困难，一个是负概率困难，另一个是负能量困难。狄拉克于1928年提出了新的相对论性量子力学方程，被后人称为狄拉克方程。狄拉克方程解决了K-G方程的负概率困难。相对论下，经典的能量-动量关系式为：E^2=c^2p^2+ m^2c^4模仿上述形式，则在量子情形下，能量-动量算符关系式为：hat{H} = pm sqrt{hat{p}^2+m^2c^4}=pm sqrt{hat{p_x}^2+hat{p_y}^2 +hat{p_z}^2 +m^2c^4} (1)此时算符在根号中，这不是量子力学的标准形式。因此狄拉克于1928年，提出哈密顿量算符与动量分量的关系应该是线性相关的形式hat{H}=pm c (a_x hat{p_x} +a_y hat{p_y} +a_z hat{p_z} +beta m c) (2)其中a_i,beta为待定系数。对比（1），（2）式，同时取平方得hat{p_x}^2+hat{p_y}^2+hat{p_z}^2+m^2c^4= c(a_xhat{p_x}+a_yhat{p_y}+a_zhat{p_z}+beta mc)cdot c(a_xhat{p_x}+a_yhat{p_y}+a_zhat{p_z}+beta mc)于是待定系数满足以下关系式（注意算符乘积的先后次序）a_x^2=a_y^2=a_z^2=beta^2=1a_xa_y+a_ya_x=0a_xa_z+a_za_x=0a_ya_z+a_za_y=0a_xbeta+beta a_x=0a_y beta+ beta a_y=0a_z beta+ beta a_z=0从以上关系式可以看出，四个系数是对称的。但上述方程组在实数和复数域内均无非零解。狄拉克认为此时可以将四个系数都看成是4imes 4的矩阵，可以验证，以下矩阵可以满足上述方程组。a_1= left(begin{array}{ccc} 0& sigma_x sigma_x & 0 end{array}right)a_2= left(begin{array}{ccc} 0& sigma_y sigma_y & 0 end{array}right)a_3= left(begin{array}{ccc} 0& sigma_z sigma_z & 0 end{array}right)beta= left( begin{array}{ccc} I & 00 & -Iend{array} right)其中sigma代表2imes 2的泡利矩阵。哈密顿量算符hat{H}=c a_i cdot hat{p_i}+beta m c^2,i=x,y,z则自由粒子的狄拉克方程为i hbar frac{partial}{partial t} psi=hat{H}psi，形式上与薛定谔方程类似，但哈密顿量算符的具体形式是不同的。参考资料【1】《量子力学 卷II》 曾谨言【2】《狄拉克相对论电子方程的成就与影响》 [J] 张同意 ，商洛师专学报(1996).【3】《The quantum theory of the electron》 [J] Dirac，Proceedings of the Royal Society of London. Series A(1928).转自光能丰