根号3是有理数还是无理数

问题描述

精选答案

根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明根号三是无理数

1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2所以3整除p^2，因3是质数，所以3整除p，可设p=3t，则q^2=3t^2，所以3整除q。因此p和q有公约数3，与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数。

2、设x=根号3，则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1，所以p=1或3，q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

3、设x=根号3=p/q(p，q)=1,所以存在整数s，t使ps+qt=1根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾。