点到直线的距离公式是什么

问题描述

精选答案

d=│AXo＋BYo＋C│/√（A²＋B²）

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晓宇聊自考

点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离。直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：d=│AXo＋BYo＋C│/√（A²＋B²）。

过程

1、设直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0 显然它与直线Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而后者从表达式可以看出它和向量(A,B,C)垂直.

2、考虑直线外一点P和直线上一点Q，则有向量PQ，如果它垂直于直线l，那么PQ的长度就是点到直线的距离。如果它不垂直于直线l，那么设P到直线l的垂足为R，由直角三角形的关系，PQcost=PR，cost是PQ与PR夹角的余弦，而PR与(A,B,C)都垂直于l，因此它俩平行。于是，夹角t可由PQ和(A,B,C)得出。

3、现在，P已知，Q可任取，(A,B,C)已知，故t已知。于是PR的长度已知，于是点到直线的距离已知。将以上过程用坐标写出来就得到了点到直线的距离公式了。

空间点到直线距离

点M（1，2，3）到直线｛x+y-z=1，2x+z=3｝的距离是____？

由两平面可得z=3-2x，y=4-3x。因此直线方程为：x/(-1)=(y-4)/3=(z-3)/2，

直线的方向向量为(-1,3,2) 。可设直线上一点N(-t,3t+4,2t+3)，MN向量为(-t-1,3t+2,2t)

若MN垂直于直线，则(-1,3,2)*(-t-1,3t+2,2t)=0。可解得t=-1/2

MN的模长sqr(6)/2即为所求。