为什么数量矩阵与任意同阶方阵相乘可交换

问题描述

精选答案

设 A=(aij) 与任意的n阶矩阵可交换,则A必是n阶方阵.

设Eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.

EijA 是 第i行为 aj1,aj2,...,ajn,其余行都是0的方阵

AEij 是 第j列为 a1i,a2i,...,ani,其余列都是0的方阵

所以A是一个对角矩阵.

设E(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.

由E(i,j)A=AE(i,j)可得

其他回答

小中建筑课堂

因为数量矩阵在与任意同阶方阵相乘时，其作用就是相当于对该方阵进行了一次单位操作，不改变原方阵的值。

而单位操作具有可逆性，也就是说，对同一个矩阵进行多次单位操作，最终结果仍然是该矩阵本身。因此，数量矩阵与任意同阶方阵相乘可交换。