反函数与原函数的关系

问题描述

精选答案

反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义域，原函数值域就是反函数定义域，而原函数定义域则是反函数值域。对于函数来说，它的反函数也是一个函数，根据反函数的定义来说，原函数就是它的反函数的反函数，所以函数的原函数和反函数可以互相称为反函数。

原函数：

是指对于一个定义在某区间的已知函数f（x），如果存在可导函数F（x），使得在该区间内的任一点都有dF（x）=f（x）dx，则在该区间内就称函数F（x）为函数f（x）的原函数。

例如：sinx是cosx的原函数。

若函数f（x）在某区间上连续，则f（x）在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F（x）+C（C为任一个常数）中的任一个函数一定是f（x）的原函数，

故若函数f（x）有原函数，那么其原函数为无穷多个。

反函数：

一般来说，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，若找得到一个函数g（y）在每一处g（y）都等于x，这样的函数x=g（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f^-1（x）。反函数y=f^-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f（y）或者y=f^-1（x）。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标“−1”指的是函数幂，但不是指数幂。