无限个无穷小的乘积是不是无穷小

问题描述

精选答案

不是

无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。 无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

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无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。 无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

定义

无穷小是极限为零的函数。如是自变量，因变量极限为零的函数。此时f(x)就是的无穷小。

无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。

设f在某x0的空心邻域有定义。

对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数 （或正数 ）使得不等式 （或 ）的一切 对应的函数值 都满足不等式 ，则称函数 为当 （或 ）时的无穷小量。

性质

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、若函数 在某 的空心邻域内有界，则称g为当 时的有界量。

例如 ，都是当 时的无穷小量， 是当 时的无穷小量，而 为 时的有界量， 是当 时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。

5、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

6、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

7、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

8、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

9、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷大

当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称 为当 时的无穷大。

同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。

一开始以为是对的，后来想到一个例子：这个东西在x不等于0的时候不收敛。因为要使nx