圆球体积公式

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V球=(4/3)πr^3

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小旭考研

圆球的体积公式

V球= (4/3)πr^3, r为球半径。

解析

三分之四乘圆周率乘半径的三次方 。 用一个平面去截一个球，截面是圆面。

球的截面有以下性质

1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r²=R²-d² 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。 求球体体积基本思想方法： 先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面。

（1）第一步：分割 用一组平行于底面的平面把半球切割成 层

（2）第二步：求近似和 每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值。

（3）第三步：由近似和转化为精确和 当 无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积。

推导过程

最好拿纸笔画好图

第一步：先想象一个半球（高R，底面半径R，这个应该能理解吧），在距它底面L处，做一个横截面。因为是半圆，所以底面圆心到球面任意点的距离相等，所以截面半径r的平方：r^2= R^2 - L^2（初中学的勾股定理）

所以截面面积S=π(R^2 - L^2)

=πR^2 - πL^2

第二步：再想象一个圆柱（高R，底面半径R），从中间拿掉一个圆锥，在同样高L处，做横截面。截面为圆环，S圆环面积=大圆 - 小圆

因为此圆柱高R，半径R所以从垂直方向截面上看，截去的圆锥为等腰直角三角形，所以L等于圆环中小圆的半径，所以S圆环面积=大圆 - 小圆

=πR^2 - πL^2

所以 在同样高处 圆柱的圆环=半球的横截圆

所以可以得 圆柱截取圆锥后的剩余体积=半球体积

得半球体积=2/3圆柱

所以球的体积=4/3圆柱

=4/3πR^3

球体面积公式

可用球的体积公式+微积分推导

定积分的应用：旋转面的面积。好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。

以x为积分变量，积分限是[－R，R]。

在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积S＝∫2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^