左右导数存在函数一定连续吗

问题描述

精选答案

一定连续单侧导数定义：根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即由此看出，单侧导数存在，那么在此点一定有定义即上面所说的f(x0),又因为函数映射是一一对应关系，即一个x对应一个y ,那么不可能存在在x0处出现两个因变量，否则它不是函数，也就说在此点连续，这个可以证明的，你可以用任意数ε和△x的关系去证明。

延伸解释：数学问题首先从定义入手，首先连续的概念是函数： 函数f(x)在点的某个邻域内有定义，如果有，则称函数在点处连续，且称为函数的的连续点。而导数的定义是：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记作①；②；③， 即由此我们可以看出 可导一定连续，且可导时左导数一定等于右导数并在此点连续，不连续一定不可导。如果左导数不等与右导数，两者都存在是只能说明此点不可导，但是一定连续！

其他回答

英语学习者

不一定。

函数在某点连续需要满足三个条件：在该点有定义，在该点处极限存在，且该点处的极限值等于该点的函数值。而左右导数存在只是函数可导的必要条件，而非充分条件。因此，左右导数存在的函数不一定连续。