错位相减万能公式

问题描述

精选答案

bn=b1+(n-1)*d

公式为bn=b1+ (n-1)*d; {Cn}为等比数列,通项公式为cn=c1*q^ (n-1)

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公式为bn=b1+ (n-1)*d; {Cn}为等比数列,通项公式为cn=c1*q^ (n-1)

错位相减法不过是“加、减、乘、除”的综合运用，即“一加、二乘、三减、四除”。

具体内容如下

一加：写出展开的各项；

二乘：对展开式的每一项乘以等比数列的公比；

三减：用“一加”所得等式减去“二乘”所得等式，在相减时一定要错位相减；

四除：等式两边除以的系数，整理得出的结果。

举例

求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)·xn-1（x≠0，n∈N*）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1

∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn

两式相减得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn

如何判断一个数列是等差还是等比数列

①学会将所给的数列的通项公式找出来;

②从函数的角度看，若数列是关于n的一次型函数，则此数列一定为等差数列;

③从函数的角度看，若数列是关于n的指数型函数，则此数列一定为等比数列;

补充

如果数列的各项是由一个 等差数列 和一个 等比数列 的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

扩展

裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1)-[1/(n+1)]

裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。

（1）1/[n(n+1)]=（1）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）

数列求和的常用方法

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 a1>0,d