射影定理的三个公式

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精选答案

a=bcosCccosB；b=ccosAacosC；c=acosBbcosA

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晓宇聊自考

射影定理的三个公式

a=bcosC ccosB，b=ccosA acosC和c=acosB bcosA

射影定理公式

1、在ABC中，如果A，B和C的对边是A，B和C，那么就有：a=bcosC ccosB，b=ccosA acosC和c=acosB bcosA。这三个公式称为射影定理。在ABC中，如果A，B和C的对边是A，B和C，那么就有：a=bcosC ccosB，b=ccosA acosC和c=acosB bcosA。这三个公式称为射影定理。

2、射影定理的内容

3、AB=AD AC，BC=CD CA

4、这两个公式加在一起：

5、Bc=ad accd ac=(ad cd) ac=ac(勾股定理)。

6、注：AB表示AB的二次方。

7、射影定理证明了：个三角形中的角A=90度是已知的。AD高。

8、1:如果a点在BC线上的投影是d点，AB和AC在BC线上的投影分别是BD和CD，BD=c cosB，CD=b cosc， a=a=BD CD=b cosC c cosB可以用同样的方法证明剩下的。

9、2.证明：根据正弦定理，我们可以得到：b=asinB/sinA，c=AsInC/SinA=AsIn(ab)/SinA=a(sinA cosb cosasib)/SinA=acosb(Asinb/SinA)cosa=a cosb cosa。

扩展

射影定理内容

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC²（即勾股定理）。

注：AB²的意思是AB的2次方。

射影定理证明

已知:三角形中角A=90度。AD是高。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。

射影公式的推理过程

① CD²=AD·BD;

② ②AC²=AD·AB;

③ ③BC²=BD·AB;

证明

① CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD ∴CD²=AD·BD

② CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③ BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD