高斯求和公式

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高斯定理

也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。

在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。 高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。

高斯定律

属物理定律。在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。

该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）S 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。

高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛。

扩展

如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).

解：div(qR/(4πr^3)=0 R--为r的单位矢量，

本例说明静电场E是无源场。

应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。

现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理，

设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为

E·dS=Ecosθds

=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的 介电常数

显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds^2

故 E·ds= Q/(4πε0)dΩ

因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0

场强学过普通物理的多数人都知道

下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V,边界为封闭面S，通过界面流出的电流应等于体积V内电量的减小率，

即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量， dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）

ρ-电荷密度

注：J=Ρv’ V’---为速度矢量

用高斯公式进行积分变换,

∮J·dS=∫△·JdV ：△--应为倒三角（由于输入的关系，打成正立三角形） ,

可得到电荷守恒定律的微分形式：△·J+ dρ/dt=0，

此式称电流的连续性方程。