三次方程求根公式

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aX^3+bX^2+cX+d=0

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IX证券

标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0）

ax^3+bx^2+cx+d的标准型

化成

x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0

可以写成

x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0

其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a

令y=x-a1/3

则y^3+px+q=0

其中p=-(a1^2/3)+a2

q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3

1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2

2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2

3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①

如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方y^2+qy-p^3/27=0的两个根。

解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)

不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)

则u^3=A,v^3=B

u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2

v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2

但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

u1= A（1/3）,v1= B（1/3）

u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2

u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω

那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）

x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2

x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω

这正是著名的卡尔丹公式。

△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。

当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；

当△